Question

选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵A=

.

1 a -1 b

.

，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=

.

2 1

.

．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

Answer 1

分析：（I）根据特征值与特征向量的定义建立等式关系，解方程即可求出矩阵A；
（II）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=2x上的两点，求出两点在矩阵A的作用下的点的坐标，从而求出直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

解答：解：（I）由

1 a -1 b

 

2 1

=2

2 1

，得

2+a=4 -2+b=2

，解得A=

1 2 -1 4

…（2分）
（II）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y=2x上的两点（0，0），（1，2），…（4分）
由

1 2 -1 4

 

0 0

=

0 0

，

1 2 -1 4

 

1 2

=

5 -7

 ]得：
点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（5，-7），…（6分）
从而直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为7x+5y=0．…（7分）

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量和特殊的矩阵变换，属于基础题．