题目内容
【题目】已知
，
是椭圆
：
的左、右焦点，恰好与抛物线
的焦点重合，过椭圆的左焦点且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点
，直线
：
，过斜率为
的直线与椭圆交于
，
两点，与直线交于
点，若直线
，
，
的斜率分别是
，
，
，求证：无论取何值，总满足是和的等差中项．
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】分析：（1）：由题意把
代入椭圆
，求得
，即可得到椭圆的方程；
（2）把直线
方程为：
，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，求得
，把
代入直线方程，得
，又因为
三点共线，所以
，化简整理得
，即可作出证明.
详解：（1）：由题意
，把
代入椭圆，得
，因此椭圆方程为.
（2）直线方程为：
，代入椭圆方程，
并整理得
，
设
则有
，
把代入直线方程得：
， 从而
.
又因为三点共线，所以
所以
,又
，所以,即无论
取何值，
总满足
是
和
的等差中项.
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（ | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
. 
【题目】“微信运动”是手机
推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人 | 参与者 | 合计 | |
男教师 | 60 | 20 | 80 |
女教师 | 40 | 20 | 60 |
合计 | 100 | 40 | 140 |
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？
（2）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为
，写出的分布列并求出数学期望
.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
