Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中底面是变长为a的正方形，且PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}a$，求平面APB与平面PBD夹角的大小．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥PB于点E，连接AE，说明∠AEO是二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AEO中，可求二面角A-PB-D的大小．

解答 解：过点O作OE⊥PB于点E，连接AE．
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂线定理得AE⊥PB．
∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角．
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂线定理得PA⊥AB．
在Rt△PAB中，PB=$\sqrt{3}$a，
∴AE=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角A-PB-D的大小为60°．

点评 本题考查线面垂直，二面角的作法以及求解方法，考查空间想象能力以及计算能力．，