题目内容

【题目】在单调递增数列{an}中,a1=2,a2=4,且a2n1 , a2n , a2n+1成等差数列,a2n , a2n+1 , a2n+2成等比数列,n=1,2,3,….
(Ⅰ)(ⅰ)求证:数列 为等差数列;
(ⅱ)求数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)设数列 的前n项和为Sn , 证明:Sn ,n∈N*

【答案】(Ⅰ)(ⅰ)证明:因为数列{an}为单调递增数列,a1=2>0,所以an>0(n∈N*).
由题意得2a2n=a2n1+a2n+1
于是
化简得
所以数列 为等差数列.
(ⅱ)解:因为a3=2a2﹣a1=6,
所以数列 的首项为 ,公差为
所以 ,从而
结合 ,可得a2n1=n(n+1).
因此,当n为偶数时an= ,当n为奇数时an=
2)证明:通过(ii)可知 =
因为an=
所以
+…

=
所以Sn ,n∈N*
【解析】(Ⅰ)(ⅰ)通过题意可知2a2n=a2n1+a2n+1 ,化简即得结论;(ⅱ)通过计算可知数列 的首项及公差,进而可得结论;(2)通过(ii)、放缩、裂项可知 >4( ),进而并项相加即得结论.
【考点精析】掌握等差关系的确定和数列的前n项和是解答本题的根本,需要知道如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即=d ,(n≥2,n∈N)那么这个数列就叫做等差数列;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系

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