题目内容
【题目】已知抛物线
和
轴上的定点
，过抛物线焦点作一条直线交
于
、
两点，连接
并延长，交于
、
两点.
（1）求证：直线
过定点；
（2）求直线
与直线最大夹角为
，求
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）当直线
、
斜率不存在时，可直接求解；当直线、斜率存在时，设直线
，
，
，
，
，不妨设
，联立方程组得
，
，
，
，结合
可得直线
，即可得证；
（2）当直线斜率存在时，易证
，利用
求出最大值即可得解.
（1）证明：由题意知抛物线焦点
，
当直线斜率不存在时，直线
，易得
，
，
则直线
，
，
所以点
，
，此时直线
；
当线斜率存在时，设直线，，，，，不妨设，
则
，化简得
，
，
则，，
①当
时，则
，所以
，
，点
，
所以直线
，点
，
直线
，则
解得点
，
所以直线
；
②当
时，此时直线
，
则
，结合化简得
，
此方程有一根为
，所以
，所以
，所以，
同理可得，
由，
，可得
，
，
所以
，
所以直线
，化简得，
可得直线
过点
；
综上，直线恒过点；
（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，
；
当直线斜率存在时，
，
设直线与直线的夹角为
，
，当且仅当
时，等号成立，
所以对于直线与直线最大夹角
，.
挑战100单元检测试卷系列答案
【题目】某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将分数分成6组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，第6组
，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表．
分数区间 | 频数 |
| 7 |
| 18 |
| 21 |
| 24 |
| 70 |
| 60 |
定义：学生对食堂的“满意度指数”
分数 |
|
|
|
|
|
|
满意度指数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）
