题目内容
设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．
分析：（1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）设-3≤x1＜x2≤3，且x1＜x2，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），由x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x2）＞f（x1），证明函数在[-3，3]上单调递减，再利用赋值法和条件，分别求出函数最大值和最小值．
（2）设-3≤x1＜x2≤3，且x1＜x2，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），由x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x2）＞f（x1），证明函数在[-3，3]上单调递减，再利用赋值法和条件，分别求出函数最大值和最小值．
解答：解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
（2）设-3≤x1＜x2≤3，令y=-x1，x=x2
则f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），
因为x＞0时，f（x）＜0，
故f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0．
∴f（x2）＜f（x1）、f（x）在区间[-3，3]上单调递减，
∴x=-3时，f（x）有最大值，
f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6．
x=3时，f（x）有最小值为f（3）=-6．
令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
（2）设-3≤x1＜x2≤3，令y=-x1，x=x2
则f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），
因为x＞0时，f（x）＜0，
故f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0．
∴f（x2）＜f（x1）、f（x）在区间[-3，3]上单调递减，
∴x=-3时，f（x）有最大值，
f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6．
x=3时，f（x）有最小值为f（3）=-6．
点评：本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及函数最值，解此类题目，注意赋值法的运用．
练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=ex-e•cos
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（ ）
| πx |
| 2 |
A、m=-
| ||
| B、m=1-e，n=5 | ||
C、m=-
| ||
| D、m=e-1，n=4 |