题目内容
（13分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽
是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆
+
=1的面积公式为S=
，柱体体积为底面积乘以高。）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的
倍，试确定M、N的位置以及
的值，使总造价最少。
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽
是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽
？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的
倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。 （1）
m；（2）当拱高为(
+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小;（3）
,
.
m；（2）当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小;（3）,.试题分析：（1）先建立直角坐标系，找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，即可求出隧道设计的拱宽l是多少；
（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l．
（3）先求出总造价的表达式，再利用导函数研究其最值即可．
试题解析：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为
+=1，将b=h－3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=
，l=2a=，隧道的拱宽约为m。 5分（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭
圆的面积最小即可。
由椭圆方程
+=1，得
+
=1。因为+≥
，即ab≥40，…8分所以半椭圆面积S=
≥
。当S取最小值时，有==
，得a=10，b=，此时l=2a=20， h=b+3=+3，故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 13分（3）设
，设
=
+·
=2
（10
），则
令
得
或17（舍）∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得
∴… 13分
练习册系列答案
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轴的抛物线经过点
．
过定点
，斜率为
，当
的左、右焦点分别为
，且
，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．
相交于不同的两点M、N，又点
，当
时，求实数m的取值范围，
:
的离心率为
，过椭圆
的直线
与椭圆
（点
为椭圆
的直线
与椭圆相交于
两点.判断直线
是否关于直线
对称，并说明理由.
、
为椭圆
的左、右焦点，且点
在椭圆
的直线
交椭圆
两点，则
的内切圆的面积是否存在最大值？
的左、右顶点分别为
、
，离心率
．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且
.
，求直线MN的方程.
及定点
，点
是圆
上的动点，点
在
上，且满足
，
。
关于直线
的对称点在曲线
的取值范围。
的焦点重合．
交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由．
，
、
是其左右焦点，离心率为
，且经过点
.
的标准方程； 
、
分别是椭圆长轴的左右端点，
为椭圆上动点，设直线
，且
，求直线
斜率的取值范围；
的最小值.