Question

如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）设AB=2，若H为线段PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为

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，求此时异面直线AE和CH所成的角．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°，知△ABC是等边三角形，由E是BC的中点，知AE⊥BC，由BC∥AD，知AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AE，由此能够证明AE⊥PD．
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，从而推导出∠EHA为EH与平面PAD所成的角，由此能求出异面直线所成的角的大小．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，
连接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，
∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角，
在Rt△EAH中，AE=

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，所以当AH最短时，即AH⊥PD时，EH与平面PAD所成的角∠EHA最大，
此时tan∠EHA=l
因此AH=AC₁∥面CDB₁．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 PA=2．
此时异面直线AE和CH异面直线所成角30°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．