题目内容
设x、y∈R，
，
为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量
＝x＋(y＋2)，
＝x＋(y－2)，且||＋||＝8．
(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；
(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设
＝
＋
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
答案：
解析：
解析：
|
(1)∵ ∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8． ∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为 (2)∵l过y轴上的点(0，3)． 若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点． ∴ ∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)B(x2，y2) 由 此时Δ＝(18k)2－4(4＋3k2)(－21)＞0恒成立． 且x1＋x2＝－ ∵ 若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则 ∵ 即(1＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0 即(1＋k2)·(－ 即k2＝ ∴存在直线l：y＝± |
＝x
＋(y＋2)
，
＝x
＋
＝1．
＝
＋
＝
，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
消去y得：(4＋3k2)x2＋18kx－21＝0
，x1x2＝－
．
)＋3k·(－
)＋9＝0
，得k＝±
＋3，使得四边形OAPB为矩形．
练习册系列答案
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设x，y∈R，i为虚数单位，且
=1+2i，则Z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
| 3+4i |
| x+yi |
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
，
为直角坐标系平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量
＝x
)
＝x
)
的直线l与轨迹C交于不同两点A、B，求△PAB面积的最大值．
，
为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若
，
，且
．
求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程。
、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若
=x
+（y+2）
，
=x
，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．
、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若
=x
+（y+2）
，
=x
+（y-2）
且
2+
2=16．
，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．