Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③设f(x)=

1-2x

x+1

(x≥1)，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N*，则{a_n}是单调递减数列；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．其中所有正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①由x|x|是奇函数，bx是奇函数，c是偶函数，知函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互换，得函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；③由f(x)=

1-2x

x+1

(x≥1)，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N*，知f（n）=

3

n+1

-2，所以{a_n}是单调递减数列；④y=f（x-1）是偶函数，它的图象关于y轴（x=0）对称．变成y=f（x），需要向左平移1个单位． 故：y=f（x）关于x=-1对称．

解答：解：①∵x|x|是奇函数，bx是奇函数，c是偶函数，
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
故①成立；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，
x，y互换，得函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；
故②成立；
③由f(x)=

1-2x

x+1

(x≥1)，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N*，
知f（n）=

3

n+1

-2，
∵n+1≥2，
∴f（n）单调减，
∴{a_n}是单调递减数列．
故③成立；
④y=f（x-1）是偶函数，它的图象关于y轴（x=0）对称．
变成y=f（x），需要向左平移1个单位．
故：y=f（x）关于x=-1对称．
故④不成立．
故答案为：①②③．

点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性、对称性和反函数的合理运用．