题目内容
设F1、F2分别是椭圆| x2 |
| 4 |
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF1•PF2的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．
（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．
（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意易知a=2，b=1，c=
所以F1(-
，0)，F2(
，0)，
设P（x，y），
则
•
=(-
-x，-y)•(
-x，-y)=x2+y2-3=x2+1-
-3=
(3x2-8)
因为x∈[-2，2]，
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
•
有最小值-2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
•
有最大值1
（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y，整理得：(k2+
)x2+4kx+3=0
∴x1+x2=-
，x1•x2=
由△=(4k)2-4(k+
)×3=4k2-3＞0得：k＜-
或k＞
，
又0°＜∠A0B＜90°?cos∠A0B＞0?
•
＞0
∴
•
=x1x2+y1y2＞0
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）
=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
+
+4=
∵
+
＞0，
即k2＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
-2＜k＜-
或
＜k＜2．
| 3 |
所以F1(-
| 3 |
| 3 |
设P（x，y），
则
| PF1 |
| PF2 |
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
因为x∈[-2，2]，
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
| PF1 |
| PF2 |
（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
| 1 |
| 4 |
∴x1+x2=-
| 4k | ||
k2+
|
| 3 | ||
k2+
|
由△=(4k)2-4(k+
| 1 |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又0°＜∠A0B＜90°?cos∠A0B＞0?
| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）
=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
| 3k2 | ||
k2+
|
| -8k2 | ||
k2+
|
| -k2+1 | ||
k2+
|
∵
| 3 | ||
k2+
|
| -k2+1 | ||
k2+
|
即k2＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
-2＜k＜-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．
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