Question

20．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，且∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，点O为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面A₁OB；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC-B的余弦值；
（Ⅲ）若点B关于AC的对称点是D，在直线A₁A上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁C，证明A₁O⊥AC，BO⊥AC，可得AC⊥平面A₁OB；
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB₁C的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B₁-AC-B的余弦值；
（Ⅲ）设在直线A₁A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{A{A_1}}$．由$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow n=0$，得$-\sqrt{3}+\sqrt{3}λ=0$．求出λ，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：连结A₁C，
因为AC=AA₁，$∠{A_1}AC=\frac{π}{3}$，AB=BC，点O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC，BO⊥AC．
因为A₁O∩BO=O，
所以AC⊥平面A₁OB．…（4分）
（Ⅱ）解：因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，
所以A₁O⊥平面ABC．所以A₁O⊥BO．…（5分）
所以以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
所以A（0，-1，0），$B（{\sqrt{3}，0，0}）$，C（0，1，0），${A_1}（{0，0，\sqrt{3}}）$，${B_1}（{\sqrt{3}，1，\sqrt{3}}）$，
所以$\overrightarrow{A{A_1}}=（{0，1，\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{A{B_1}}=（{\sqrt{3}，2，\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}）$．
设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AC}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}z=0\\ 2y=0.\end{array}\right.$
所以$\overrightarrow n=（{-1，0，1}）$．…（7分）
因为平面ABC的法向量为$\overrightarrow{{A_1}O}=（{0，0，\sqrt{3}}）$，
所以＜$cos\left?{\overrightarrow{A{A_1}}，n}\right＞=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}•\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以二面角B₁-AC-B的余弦值是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）
（Ⅲ）解：存在．
因为点B关于AC的对称点是D，所以点$D（{-\sqrt{3}，0，0}）$．…（10分）
假设在直线A₁A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{A{A_1}}$．
所以$\overrightarrow{AP}=（{x，y+1，z}）$．所以$P（{0，λ-1，\sqrt{3}λ}）$．
所以$\overrightarrow{DP}=（{\sqrt{3}，λ-1，\sqrt{3}λ}）$．…（12分）
因为DP∥平面AB₁C，平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow n=（{-1，0，1}）$，
所以由$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow n=0$，得$-\sqrt{3}+\sqrt{3}λ=0$．
所以λ=1．…（13分）
所以在直线A₁A上存在点P，使DP∥平面AB₁C，且点P恰为A₁点．…（14分）

点评 本题考查线面垂直，考查二面角的余弦值，考查线面平行，正确运用向量法是关键．