Question

【题目】已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[15，+∞）
B.
C.[1，+∞）
D.[6，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=aln（x+1）﹣x2，

∴f（x+1）=aln（x+2）﹣（x+1）2，

又p，q∈（0，1），且p≠q，不等式 恒成立 恒成立，

即f′（x+1）= ﹣2（x+1）＞1恒成立，其中x∈（0，1）．

整理得：a＞[1+2（x+1）]（x+2）恒成立，x∈（0，1）．

令h（x）=[1+2（x+1）]（x+2），

则a＞[h（x）]max，x∈（0，1）．

∵h（x）=2x2+7x+6，其对称轴方程为x=﹣ ，h（x）在区间（0，1）上单调递增，

∴当x→1时，h（x）→15，

∴a≥15，即实数a的取值范围为[15，+∞），

故选：A．