题目内容
(本小题满分12分)已知是函数的一个极值点。⑴求;⑵求函数的单调区间;⑶若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的取值范围为
(Ⅰ)因为所以, 因此(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, (5分)
当时,当时,
所以的单调增区间是 的单调减区间是 (7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时, (8分)
所以的极大值为,极小值为
因此
(10分)
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当因此,的取值范围为。 (12分)
评析:此题重点考察利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题;熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结合理解函数的取值范围。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, (5分)
当时,当时,
所以的单调增区间是 的单调减区间是 (7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时, (8分)
所以的极大值为,极小值为
因此
(10分)
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当因此,的取值范围为。 (12分)
评析:此题重点考察利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题;熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结合理解函数的取值范围。
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