Question

5．已知数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{a_n}是递减数列；
（Ⅱ）若对任意k∈N^*，都有a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列，求q的值．

Answer 1

分析 （I）运用等比数列的通项公式，求得a_n，再由a_n+1-a_n，分解因式，结合条件即可得证；
（II）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，化简整理，计算即可得到q．

解答 （I）证明：因为数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，
所以a_n=q^n-1，n∈N^*．
所以a_n+1-a_n=qⁿ-q^n-1=q^n-1（q-1），
当0＜q＜1时，有q^n-1＞0，q-1＜0，
所以a_n+1-a_n＜0，n∈N^*．
所以{a_n}是递减数列．
（II）解：因为a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列，
所以2a_k+2-（a_k+a_k+1）=0，其中k∈N^*．
即2q^k+1-（q^k-1+q^k）=0，
整理得q^k-1•（2q²-q-1）=0．
因为q≠0，
所以2q²-q-1=0，
解得q=1，或q=$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查数列的单调性的证明，考查运算能力，属于中档题．