Question

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm²,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

Answer 1

画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小. 如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小。 

设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx²=4840,设纸张面积为S cm²,
则S=(x+16)(λx+10)=λx²+(16λ+10)x+160,
将x=代入上式得 S=5000+44 (8+),
当8=,即λ=<1)时S取得最小值.
此时高: x=="88" cm,　宽 λx=×88="55" cm.
如果λ∈［］，可设≤λ₁<λ₂≤,
则由S的表达式得：

又≥,故8－>0,
∴S(λ₁)－S(λ₂)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增。
从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值。
答:画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小. 如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小。