题目内容
【题目】如图，四棱锥中
，底面
为直角梯形，
，
，平面
底面，
，
.
（1）求证：平面
与平面
不垂直；
（2）若
，
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
【解析】
（1）作
于点
，假设平面
平面
，通过证明
,由此推出矛盾，从而判断出平面
与平面不垂直.
（2）作
于点
，证得
两两垂直，由此建立空间直角坐标系，利用平面
和平面
的法向量，计算出二面角的余弦值.
（1）证明如下：作于点，假设平面平面，
则
平面，∴ 
在直角梯形
中，
，
，∴
，∴ 
平面，∴
∵ 平面
底面，平面
底面
∴ 平面
，∴ 
在 
中，不可能有两个直角，所以假设不成立.
（2）作于点，∵
，∴为
中点，连接
.
∵ 平面底面 ∴
底面
在直角梯形中，，
，∴
以
、、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
∵
，
，
∴
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
由
，取
同理可得平面的法向量
∴
.
由图形可知，所求二面角为钝角，∴二面角
的余弦值.
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