Question

【题目】已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上个圆最多可以将平面分成个部分．

求，的值；

猜想的表达式并证明；

证明：．

Answer 1

【答案】（1）8，14；（2），证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

由题意可知：，;猜想并用数学归纳法证明可得解;

证明：讨论当或2或3时，，且时，用数列单调性的证明方法定义法证明即可.

由已知有：，，

，

下面用数学归纳法证明：

当时，结论成立；

假设时，结论成立，即平面上k个圆最多可以将平面分成个部分，

那么当时，第个圆与前k个圆最多有2k个交点，即此第个圆最多被这2k个交点分成2k条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第个圆使平面增加了2k个区域，

所以，

综合得：即平面上n个圆最多可以将平面分成个部分，

即命题得证

证明：当或2或3时，，

即，

且时，

设，

则，

设，

因为，所以，所以

所以时，数列是单调递减数列，所以，

所以，

综合得：．

故不等式得证．