题目内容
【题目】设函数f(x)=
(1)当 时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解: a= 时,f(x)=
,
当x<1时,f(x)=x2﹣3x是减函数,所以f(x)>f(1)=﹣2,即x<1时,f(x)的值域是(﹣2,+∞).
当x≥1时,f(x)= 是减函数,所以f(x)≤f(1)=0,即x≥1时,f(x)的值域是(﹣∞,0].
于是函数f(x)的值域是(﹣∞,0]∪(﹣2,+∞)=R.
(2)解:若函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立:
①当x<1,f(x)=x2﹣(4a+1)x﹣8a+4是减函数,于是 ≥1,则a≥
.
②x≥1时,f(x)= 是减函数,则0<a<1.
③12﹣(4a+1)1﹣8a+4≥0,则a≤ .
于是实数a的取值范围是[ ,
]
【解析】(1)a= 时,f(x)=
,当x<1时,f(x)=x2﹣3x是减函数,可求此时函数f(x)的值域;同理可求得当x≥1时,减函数f(x)=
的值域;(2)函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,三个条件需同时成立,①
≥1,②0<a<1,③12﹣(4a+1)1﹣8a+4≥0,从而可解得实数a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和函数的值的相关知识点,需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集;函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法才能正确解答此题.

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