Question

设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）是（ ）
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数

Answer 1

【答案】分析：将题中两个等式相结合，运用变量代换的方法可证出f（40+x）=f（x），从而得出f（x）是周期T=40的周期函数，再根据f（-x）=f（40-x）结合f（20-x）=-f（20+x），可证出f（-x）=f（x），从而得到本题的答案．
解答：解：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．
∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）
∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；
又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．
故选：C
点评：本题给出满足两个等式的抽象函数，求函数的周期性和奇偶性，着重考查了函数的定义和抽象函数的应用等知识，属于基础题．