题目内容
3．已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R），（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为-3，求a，b的值；
（2）若曲线f（x）存在两条垂直于直线x=-1的切线，求a的取值范围．
分析 （1）求出原函数的导函数，由函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3得到方程f（0）=0，f′（0）=-3，解方程组求得a，b的值；
（2）把曲线y=f（x）存在两条垂直于x=-1的切线转化为函数f（x）有两个极值点，进一步转化为关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，然后尤其判别式大于0求得a的范围．
解答 解：（1）函数f（x）的图象过原点，即为f（0）=0，即有b=0，
又f（x）的导数为f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2），
由在原点处的切线的斜率为-3，可得-a（a+2）=-3，
解得a=-3或1，
即有a=-3，b=0或a=1，b=0；
（2）∵曲线f（x）存在两条垂直于直线x=-1的切线，
∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，
∴a≠-$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）．
点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查了数学转化思想方法，是中档题．
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15．
“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（理）（2）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是$\frac{1}{2}$，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）
（文）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（理）（2）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是$\frac{1}{2}$，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
| 第一扇门 | 第二扇门 | 第三扇门 | 第四扇门 |
| 1000 | 2000 | 3000 | 5000 |
（文）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．