题目内容

(本小题满分14分)已知椭圆过点,且离心率为.

(1)求椭圆的方程;

(2)为椭圆的左右顶点,直线轴交于点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线两点.

证明:当点在椭圆上运动时,恒为定值.

 

【答案】

(1);(2) ,而,即,代入上式,∴,  所以为定值.

【解析】

试题分析:(1)由题意可知,,  ………1分

,  ……………2分

.   ……………3分

解得,    ……………4分

所以,椭圆的方程为.         ………5分

(2).设,     ……………6分

直线的方程为,令,则

;    ……………8分

直线的方程为,令,则

;   ……………10分

 ……………12分

,即,代入上式,

,  所以为定值.   ………14分

考点:椭圆的简单性质;直线与椭圆的综合应用;直线方程的点斜式;直线方程的斜率公式。

点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题定值或定点问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.

 

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