题目内容
(本小题满分14分)已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的左右顶点,直线与轴交于点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点.
证明:当点在椭圆上运动时,恒为定值.
【答案】
(1);(2) ,而,即,代入上式,∴, 所以为定值.
【解析】
试题分析:(1)由题意可知,, ………1分
而, ……………2分
且. ……………3分
解得, ……………4分
所以,椭圆的方程为. ………5分
(2).设,, ……………6分
直线的方程为,令,则,
即; ……………8分
直线的方程为,令,则,
即; ……………10分
……………12分
而,即,代入上式,
∴, 所以为定值. ………14分
考点:椭圆的简单性质;直线与椭圆的综合应用;直线方程的点斜式;直线方程的斜率公式。
点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题定值或定点问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.
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