Question

11．在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，在各项均为正数的等比数列{b_n}中，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，
（Ⅰ）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$，且数列{c_n}的前n项和为T_n．证明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）分别利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q，等差数列的公差d，即可求解；
（II）根据（1）中数列{a_n}的通项公式，运用等差数列的求和公式可得c_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项相消求和可得T_n．再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n}前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{q+{a}_{1}+{a}_{2}=12}\\{q=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{q}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=12}\\{{q}^{2}=6+d}\end{array}\right.$，
解得d=q=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n，b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）证明：c_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{3}{2•\frac{1}{2}n（3+3n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$，
数列{1-$\frac{1}{n+1}$}递增，即有n=1时取得最小值$\frac{1}{2}$，
则有$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式，考查裂项相消求和的方法，考查方程思想与运算能力，属于中档题．