Question

（2007•烟台三模）在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β等于（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：取AD的中点G，连结EG、FG，取BD的中点H，连结AH、CH．由线面垂直的判定与性质，证出BD⊥AC．由三角形中位线定理，得到∠EGF就是异面直线AC、BD所成的角，即∠EGF=

π

2

．且∠EFG和∠FEG分别等于EF与ACBD所成角，由此在Rt△EFG中算出∠EFG+∠FEG=

π

2

，即得得α+β的值．

解答：解：取AD的中点G，连结EG、FG，取BD的中点H，连结AH、CH
∵AD是等腰△ABD与等腰△BCD公共的底面，H为BD中点
∴AH⊥BD且CH⊥BD
∵AH、CH是平面ACH内的相交直线
∴BD⊥平面ACH，可得BD⊥AC
∵EG是△ABD的中位线，
∴EG∥BD，同理可得FG∥AC
因此，得到∠EGF就是异面直线AC、BD所成的角，即∠EGF=

π

2

∵EF与AC所成角为α=∠EFG，EF与BD所成角为β=∠FEG
∴Rt△EFG中，∠EFG+∠FEG=

π

2

，可得α+β=

π

2

故选：D

点评：本题在三棱锥中求异面直线所成的角，着重考查了正棱锥的性质、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．