题目内容

3.已知($\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$)n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比56:3.
(Ⅰ)求展开式中常数项;
(Ⅱ)当x=4时,求展开式中二项式系数最大的项.

分析 (Ⅰ)利用($\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$)n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比56:3,求出n,再求展开式中常数项;
(Ⅱ)当x=4时,展开式中二项式系数最大的项为T6,即可得出结论.

解答 解:(Ⅰ)∵($\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$)n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比56:3,
∴$\frac{{C}_{n}^{4}•{2}^{4}}{{C}_{n}^{2}•{2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$,
∴n=10,
∵通项为${C}_{10}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{10-5r}{2}}$,
∴令$\frac{10-5r}{2}$=0,可得r=2,
∴展开式中常数项为${C}_{10}^{2}•{2}^{2}$=180;
(Ⅱ)当x=4时,展开式中二项式系数最大的项为${C}_{10}^{5}•{2}^{5}•{4}^{-\frac{15}{2}}$=$\frac{63}{256}$.

点评 本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,正确运用二项式定理是关键.

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