题目内容
【题目】已知函数,
分别是定义在
上的偶函数和奇函数,且
.
(1)求函数,
的解析式;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(3)设,若函数
与
的图象有且只有一个公共点,求
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)4;(3)
或
【解析】
(1)用替换
再利用奇偶性得到
,与已知条件联立即可得到函数
,
的解析式;
(2)将代入,换元思想,分离参数,构造函数,求函数最小值,即可得实数
的最大值;
(3)根据题意,换元后转化为方程有且只有一个正根,再对
讨论即可得出
的取值范围.
解:(1),用
代替
得
,
则,
解方程得:,
.
(2)对任意
恒成立,
令,
,因为令
在
单调递增,故
则对
恒成立
当时,
故
,即
(3)由题:方程有且只有一个根
即有且只有一个根,
令,因为
在
上单调递增,且
故方程(*式)有且只有一个正根
①当时,方程有唯一根
,合题
②当时,方程变形为
,解得两根为
,
因为(*式)有且只有一个正根,故或
,解得
或
综上:的取值范围为
或
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