Question

(本小题满分13分)
设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a_n}满足：a₁＝f(1)＋1，f(－)＋f(＋)＝0.设S_n＝aa＋aa＋aa＋…＋aa＋aa.
(1)求数列{a_n}的通项公式，并求S_n关于n的表达式；
(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b_n}满足：b＝g()，T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较4S_n与T_n的大小.

Answer 1

（1）a_n＝ . S_n＝[1－].
（2）4S_n<T_n.

解：(1)当x，y∈(0，＋∞)时，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1得f(1)＝2f(1)，得f(1)＝0，所以a₁＝f(1)＋1＝1.(1分)
因为f(－)＋f(＋)＝0，所以f(－)＝0＝f(1).
又因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以－＝1，即－＝4，(3分)
所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝4n－3，所以a_n＝ .
∵aa＝＝[－]，
∴S_n＝[－＋－＋…＋－]＝[1－].(5分)
(2)由于任意x，y∈R都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，则g(2x)＝2g(x)＋2x²，
∴g(1)＝2g()＋2·()²＝2[2g()＋2·()²]＋＝2²g()＋＋
＝2²[2g()＋2·()²]＋＋＝2³g()＋＋＋
＝…＝2ⁿg()＋＋＋＋…＋＋＝1，
∴g()＝，即b＝.
又b_n>0，∴b_n＝，(9分)
∴T_n＝＋＋…＋＝1－，又4S_n＝1－.
当n＝1,2,3,4时，4n＋1>2ⁿ，∴4S_n>T_n；(10分)
当n≥5时，2ⁿ＝C＋C＋C＋…＋C＋C>1＋2n＋2＝1＋n²＋n.
而n²＋n＋1－(4n＋1)＝n²－3n＝n(n－3)>0，故4S_n<T_n.(13分)
(用数学归纳法证明参照计分)