题目内容

下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0

②
b
≠
0
，则
a
和
b
共线的充要条件是：?λ∈R，使
a
=λ
b
；
③若
a
和
b
共线，则表示
a
和
b
的有向线段所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x、y、z∈R）且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面．
其中不正确命题的个数是（　　）
分析：①由向量加法的三角形法则可判正确；②由向量共线的定理可得正确；③可得表示
a
和
b
的有向线段所在的直线平行，或表示
a
和
b
的有向线段所在的直线为同一条直线；④可得
OP
=x
OA
+y
OB
+(1-x-y)
OC
，由向量的运算性质可得得
CP
=x
CA
+y
CB
，所以向量
CP
，
CA
，
CB
共面，进而可得P、A、B、C四点共面．
解答：解：①A、B、C、D是空间任意四点，由向量加法的三角形法则
可得
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
AC
+
CD
+
DA
=
AD
+
DA
=
0
，故正确；
②由向量共线的定理可得：
b
≠
0
，则
a
和
b
共线的充要条件是：?λ∈R，使
a
=λ
b
，故正确；
③若
a
和
b
共线，则表示
a
和
b
的有向线段所在的直线平行，或表示
a
和
b
的有向线段所在的直线为同一条直线，故错误；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x、y、z∈R）且x+y+z=1，
则可得
OP
=x
OA
+y
OB
+(1-x-y)
OC
，即
OP
-
OC
=x（
OA
-
OC
）+y（
OB
-
OC
），
故可得
CP
=x
CA
+y
CB
，所以向量
CP
，
CA
，
CB
共面，故P、A、B、C四点共面，故正确．
所以不正确命题仅有③，即不正确命题的个数是1．
故选A
点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及向量的共线和共面的知识，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题中：
①若a与b互为相反向量，则a+b=0；
②若k为实数，且k•a=0，则a=0或k=0；
③若a•b=0，则a=0或b=0；
④若a与b为平行的向量，则a•b=|a||b|；
⑤若|a|=1，则a=±1．
其中假命题的个数为（　　）
A、5个B、4个C、3个D、2个
下列命题中：
①若a，b，m都是正数，且
a+m
b+m
＞
a
b
，则b＞a；      
②已知a，b都为实数，若|a+b|＜|a|+|b|，则ab＜0；       
 ③若a，b，c为△ABC的三条边，则a2+b2+c2＞2（ab+bc+ca）；
④若a＞b＞c，则
1
a-b
+
1
b-c
+
1
c-a
＞0．
其中正确命题的个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
下列命题中：①若a与b互为相反向量，则a+b=0；②若k为实数，且k•a=0，则a=0或k=0；③若a•b=0，则a=0或b=0；④若a与b为平行的向量，则a•b=|a||b|；⑤若|a|=1，则a=±1．其中假命题的个数为
 
．
4、下列命题中：①若A∈α，B∈α，则AB?α；②若A∈α，A∈β，则α、β一定相交于一条直线，设为m，且A∈m ③经过三个点有且只有一个平面  ④若a⊥b，c⊥b，则a∥c．确命题的个数（　　）
在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为(　　)

A.0                B.1                C.2                D.3

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