Question

下列命题中：
①若a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则b＞a；      
②已知a，b都为实数，若|a+b|＜|a|+|b|，则ab＜0；       
 ③若a，b，c为△ABC的三条边，则a²+b²+c²＞2（ab+bc+ca）；
④若a＞b＞c，则

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①若a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则b＞a，考查函数f(x)=

a+x

b+x

的单调性即可；      
②已知a，b都为实数，若|a+b|＜|a|+|b|，则ab＜0，由两数的符号进行判断；       
 ③若a，b，c为△ABC的三条边，则a²+b²+c²＞2（ab+bc+ca），利用三角形两这之差小于第三边判断；
④若a＞b＞c，则

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，根据数的取值范围判断．

解答：解：①若a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则b＞a，考察函数f(x)=

a+x

b+x

=1+

a-b

b+x

，由

a+m

b+m

＞

a

b

，a，b，m都是正数，知函数f(x)=

a+x

b+x

是一个增函数，故有a-b＜0，此命题正确；      
②已知a，b都为实数，若|a+b|＜|a|+|b|，则ab＜0，由绝对值不等式的意义知，此两数符号相反，故命题正确；       
 ③若a，b，c为△ABC的三条边，则a²+b²+c²＞2（ab+bc+ca）；三角形中两边之差小于第三边，所以（a-b）²＜c²；（b-c）²＜a²；（c-a）²＜b²；展开后相加整理即可得a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），故此命题不对；
④若a＞b＞c，则

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，此命题正确，因为a＞b＞c，故a-b＞0，b-c＞0，c-a＜0，且b-c+c-a=b-a＜0故有

1

b-c

+

1

c-a

＞0，即

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，成立
综上①②④是正确命题
故选C．

点评：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是对四个命题涉及的知识熟练掌握，利用不等式的运算规则，通过推理论证判断出命题的大小，本题在验证过程中用到了构造函数的技巧，绝对值不等式的判断，三角形中的关系等，涉及到的知识较多，综合性强，是考查能力的题．题后应好好体会，解题过程中所用的技巧．