题目内容
已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点.
(Ⅰ)求圆方程;
(Ⅱ)点与点关于直线对称.是否存在过点的直线,与圆相交于两点,且使三角形(为坐标原点),若存在求出直线的方程,若不存在用计算过程说明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)首先求得过圆心与切点的直线,然后与直线联立可求得圆心,再利用两点间的距离公式可求得半径,进而求得圆的方程;(Ⅱ)首先根据对称性求得的坐标,然后分直线的斜率是否存在两种情况求解,求解过程中注意利用点到直线的距离公式.
试题解析:(Ⅰ)过切点且与垂直的直线为,即.
与直线联立可求圆心为,
所以半径,
所以所求圆的方程为.
(Ⅱ)设,∵点与点关于直线对称,
∴.
注意:若没证明,直接得出结果,不扣分.
1.当斜率不存在时,此时直线方程为,原点到直线的距离为,
同时令代人圆方程得,∴,
∴满足题意,此时方程为.
2.当斜率存在时,设直线的方程为,即,
圆心到直线的距离,
设的中点为,连接,则必有,
在中,,所以,
而原点到直线的距离为,所以,
整理,得,不存在这样的实数,
综上所述直线的方程为.
考点:1.直线与圆的位置关系;2、点到直线的距离
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