[题目]已知函数. .其中为自然对数的底数．(1)若.求曲线在点处的切线斜率,(2)证明:当时.函数有极小值.且极小值大于．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数，，其中为自然对数的底数．

（1）若，求曲线在点处的切线斜率；

（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于．

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由，可得，故，即曲线在点处的切线斜率；（2）由在区间上是单调递增函数，可得存在使得，使得在上单调递减，在上单调递增，在区间上有极小值，设，，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，所以.

试题解析：（1）依题意，，，故，

即曲线在点处的切线斜率为；

证明：（2）因为，所以在区间上是单调递增函数，

因为，，

所以使得，

所以，；，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以在区间上有极小值，

因为，所以，

设，，

则，所以，

即在上单调递减，所以，

即，故当时，函数有极小值，且极小值大于．

练习册系列答案

甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133

乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146

（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；

（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.

(注：方差，其中为的平均数）

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.

【题目】函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点，是抛物线上不同的两点，则；

④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．

其中真命题的序号为__________．（将所有真命题的序号都填上）

【题目】已知函数f(x)＝ax＋ln(x－1)，其中a为常数．

(1)试讨论f(x)的单调区间；

(2)当a＝时，存在x使得不等式成立，求b的取值范围．

【题目】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数（Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：

大于300

空气质量

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重

污染

重度污染

天数

（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附：

（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当在区间时企业正常生产；当在区间时对企业限产（即关闭的产能），当在区间时对企业限产，当在300以上时对企业限产，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：

①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率；

②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．

【题目】（本小题12分）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．

（1）求曲线段的函数表达式；

（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；

（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．

【题目】已知函数，且 .

（Ⅰ）设，求的单调区间及极值；

（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方.

【题目】如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆四点，，则的值为（）

A. B. C. 1 D.

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