Question

【题目】已知函数， ，其中为自然对数的底数．

（1）若，求曲线在点处的切线斜率；

（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由，可得，故，即曲线在点处的切线斜率；（2）由在区间上是单调递增函数，可得存在使得，使得在上单调递减，在上单调递增， 在区间上有极小值，设， ，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，所以.

试题解析：（1）依题意， ， ，故，

即曲线在点处的切线斜率为；

证明：（2）因为，所以在区间上是单调递增函数，

因为， ，

所以使得，

所以， ； ， ，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以在区间上有极小值，

因为，所以，

设， ，

则 ，所以，

即在上单调递减，所以，

即，故当时，函数有极小值，且极小值大于．