Question

【题目】已知椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，．

（1）求椭圆的方程

（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），见解析

【解析】

（1）根据题意可得关于a，b，c的方程组，求出a，b，c即可求椭圆的方程；

（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．

（1）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，．

得椭圆过点，得，

解得，所以椭圆的方程为：.

（2）设，的中点.

由，得，

所以，.

①当时，线段的垂直平分线的方程为.

令，得，即.

若，则，那么；

若，则，

，所以或.

②当时，.

综上所述，存在点满足条件，取值范围是.