题目内容
【题目】如图,已知椭圆(
)与圆
:
在第一象限相交于点
,椭圆
的左、右焦点
,
都在圆
上,且线段
为圆
的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的动直线
与椭圆
交于
,
两点,
为坐标原点,证明:
为定值,并求出这个定值.
【答案】(1);(2)证明见解析,定值为
.
【解析】
(1)由圆的方程可得与轴的交点坐标即椭圆的焦点坐标,和圆的半径,由题意可得
的值,再由存在求出
,再由椭圆的定义可得椭圆的方程;
(2)分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论,设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出数量积的值为定值.
解:(1)在圆的方程中,令
,得
,即
,所以
.
将圆的方程化为
,则圆
半径为
,所以
.
连结,因为点
在圆
上,
为圆
的直径,则
.
又,则
.
据椭圆定义,,则
.
从而,所以椭圆
的方程是
;
(2)当直线的斜率存在时,设
的斜率为
,则
的方程为
,代入椭圆方程,得
,即
.
设点,
.则
,
.
所以
,
当的斜率不存在时,直线
与
轴重合,此时点
,
,
,
综上分析,为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某销售公司在当地、
两家超市各有一个销售点,每日从同一家食品厂一次性购进一种食品,每件200元,统一零售价每件300元,两家超市之间调配食品不计费用,若进货不足食品厂以每件250元补货,若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量,为此搜集并整理了
、
两家超市往年同期各50天的该食品销售记录,得到如下数据:
销售件数 | 8 | 9 | 10 | 11 |
频数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率,记表示这两家超市每日共销售食品件数,
表示销售公司每日共需购进食品的件数.
(1)求的分布列;
(2)以销售食品利润的期望为决策依据,在与
之中选其一,应选哪个?