题目内容
【题目】已知函数
．
（
）若
，求
在
处的切线方程．
（
）求
在区间
上的最小值．
（
）若
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
【答案】（
）
．（
）见解析．（
）
【解析】试题分析：（1）把a=2代入可得
， 
，进而可得方程，化为一般式即可；
（2）可得x=
为函数的临界点，分
≤1，1＜
＜e， 
，三种情形来讨论，可得最值；
（3）由（2）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需
，解之可得a的范围．
试题解析：（
）当
时， 
， 
，
∴
， 
，
∴
在
处的切线方程为
，即
．
（
）
．
由于
及定义域为
，所以令
得
．
①若
，即
，则
时， 
， 
在
上单调递增，
∴
在区间
上的最小值为
．
②若
，即
，则
时， 
， 
单调递减，当
时， 
， 
单调递增，
∴
在区间
上的最小值为
．
③若
，即
，则
时， 
， 
在
上单调递减，
∴
在区间
上的最小值为
．
综上所述，当
时， 
；
当
时， 
；
当
时， 
．
（
）由（
）可知当
或
时， 
在
上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当
，要使
在区间
上恰有两个零点，则
，即
，故
．
所以， 
的取值范围为
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