题目内容
【题目】已知函数.
()若,求在处的切线方程.
()求在区间上的最小值.
()若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.
【答案】().()见解析.()
【解析】试题分析:(1)把a=2代入可得, ,进而可得方程,化为一般式即可;
(2)可得x=为函数的临界点,分≤1,1<<e, ,三种情形来讨论,可得最值;
(3)由(2)可知当0<a≤1或a≥e2时,不合题意,当1<a<e2时,需,解之可得a的范围.
试题解析:()当时, , ,
∴, ,
∴在处的切线方程为,即.
().
由于及定义域为,所以令得.
①若,即,则时, , 在上单调递增,
∴在区间上的最小值为.
②若,即,则时, , 单调递减,当时, , 单调递增,
∴在区间上的最小值为.
③若,即,则时, , 在上单调递减,
∴在区间上的最小值为.
综上所述,当时, ;
当时, ;
当时, .
()由()可知当或时, 在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当,要使在区间上恰有两个零点,则
,即,故.
所以, 的取值范围为