题目内容
【题目】已知椭圆
左右焦点分别为
，
，
若椭圆
上的点
到，的距离之和为
，求椭圆的方程和焦点的坐标；
若
、
是关于
对称的两点，
是上任意一点，直线
，
的斜率都存在，记为
，
，求证：与之积为定值．
【答案】
，焦点
，
；
证明见解析.
【解析】
先根据点
到到
，
的距离之和求得
，再把点代入椭圆方程求得
，则可得
，进而求得椭圆的方程和焦点坐标；
设点
的坐标为
，根据点的对称性求得
的坐标，代入椭圆方程设出点
的坐标，利用斜率公式分别表示出
和
的斜率，求得二者乘积的表达式，把式子代入结果为常数，原式得证.
解：椭圆
的焦点在
轴上，由椭圆上点到到，的距离之和为
，
得
，即
.
点
在椭圆上，
，得
，则
.
椭圆的方程为，焦点为，.
设点，则点
，其中
.
设点
，由
，
，
可得
，
将
和
代入，
得
.
故
与
之积为定值.
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
）得频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记
表示事件：“旧养殖法的箱产量低于
，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；
（2）填写下面
列联表，并根据联表判断是否有
的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量 | 箱产量 | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
【题目】每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；
日平均气温（℃） | 6 | 4 | 2 |
|
|
网上预约订单数 | 100 | 135 | 150 | 185 | 210 |
（1）经数据分析，一天内平均气温
与该出租车公司网约订单数
（份）成线性相关关系，试建立关于
的回归方程，并预测日平均气温为
时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于
，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
【题目】为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从
两地分别随机抽取了
天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数（AQI） |
|
|
|
空气质量状况 | 优良 | 轻中度污染 | 中度污染 |
（1）试根据样本数据估计
地区当年（
天）的空气质量状况“优良”的天数；
（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于
的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.