Question

17．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=3|FB|，推断出|AM|=3|BN|，进而求得点B的坐标，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．

解答 解：设抛物线C：y²=8x的准线为l：x=-2，
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（-2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=3|FB|，则|AM|=3|BN|，
设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），则
x₂+2=3（x₁+2），y₂=3y₁，
∴x₁=$\frac{2}{3}$
∴点B的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴k=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}-0}{\frac{2}{3}+2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，是中档题，解题要注意抛物线的基础知识的灵活运用．