题目内容
2．设x1，x2是方程ax2+bx+1=0的两实根，x3，x4是方程a2x2+bx+1=0的两实根，若x3＜x1＜x2＜x4，则实数a的取值范围为0＜a＜1．分析 设f（x）=a2x2+bx+1=0，f（x1）=a2x12+bx1+1=（a2-a）x12，同理可得f（x2）=（a2-a）x22，又x3，x4是ax2+bx+1=0的两实根，若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两其根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．
解答 解：x1，x2是方程ax2+bx+1=0的根，∴ax12+bx1+1=0，
∴bx1=-ax12-1，同理bx2=-ax22-1，
令f（x）=a2x2+bx+1，
f（x1）=a2x12+bx1+1=（a2-a）x12，同理可得f（x2）=（a2-a）x22，
x3，x4是方程a2x2+bx+1=0的两实根，要使x3＜x1＜x2＜x4，只需f（x1）＜0，f（x2）＜0，
即a2-a＜0，
故a的取值范围是0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，解答的关键是对二次函数图象的特征的把握，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．
练习册系列答案
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