Question

12．已知a，b，c均为实数，二次函数f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=bx+c}，B={x|f（x）=cx+a}，C={x|f（x）=ax+b}．
（1）若A∩B≠∅，求证：a=c
（2）当c=1时，若集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，求2a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出A={0}，由A∩B≠∅，得出0∈B，把x=0代入方程f（x）=cx+a，得出a=c；
（2）c=1时，化简A、B、C，集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，得出A={0}，讨论B、C的情况，
求出对应2a+b的值，比较得出最小值．

解答 解：（1）证明：∵方程ax²+bx+c=bx+c，
∴ax²=0，解得x=0，即A={0}；
又∵A∩B≠∅，∴0∈B；
把x=0代入方程f（x）=cx+a，即得a=c；
（2）当c=1时，A={x|ax²=0}，
B={x|ax²+（b-1）x+（1-a）=0}，
C={x|ax²+（b-a）x+（1-b）=0}，
∵集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，
∴a≠0，且A={0}，
∴0∈A∪B∪C；
当0∈B时，1-a=0，解得a=1；
∴B={x|x²+（b-1）x=0}={0，1-b}；
∴C={x|x²+（b-1）x+1-b=0}={x|x=-$\frac{b-1}{2}$}={$\frac{1-b}{2}$}，
且1-b≠0，△=（b-1）²-4（1-b）=0，解得b=-3，
∴2a+b=2-3=-1；
当0∈C时，1-b=0，解得b=1，∴C={0}；
∴B={x|ax²+1-a=0}={$\sqrt{1-\frac{1}{a}}$，-$\sqrt{1-\frac{1}{a}}$}，此时a＞1或a＜0，
且a＞1时，2a+b＞2；
a＜0时，2a+b＜1；
此时2a+b=2a+1无最小值；
综上，2a+b的最小值是-1．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了集合的运算问题，考查了分类讨论思想的应用问题，
是综合性题目．