题目内容

（2013•惠州一模）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
科目甲 科目乙 总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，利用古典概型的概率计算公式可求得P（A）、P（B），再利用独立事件同时发生的概率公式可得答案；
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，根据古典概型的概率计算公式分别求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=3），再用对立事件的概率求得P（ξ=2），从而可得分布列，由数学期望的定义可得ξ的数学期望；
解答：解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，
由于事件A、B相互独立，且P（A）=
C
2
5
C
2
6
=
2
3
，P（B）=
C
2
4
C
2
6
=
2
5
，
所以选出的4人均选科目乙的概率为：
P（A•B）=P（A）•P（B）=
2
3
×
2
5
=
4
15
；
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
4
15
，P（ξ=1）=
C
2
5
C
2
6
•
C
1
2
C
1
4
C
2
6
+
C
1
5
C
2
6
•
C
2
4
C
2
6
=
22
45
，P（ξ=3）=
C
1
5
C
2
6
•
1
C
2
6
=
1
45
，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
2
9
，
ξ的分布列为：

所以ξ的数学期望为：0×
4
15
+1×
22
45
+2×
2
9
+3×
1
45
=1．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及古典概型的概率计算公式，考查学生对表格的理解应用能力，属中档题．
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4
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2
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3
2
+1
3
2
+1
．
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3
3
3
3
．
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