Question

15．求证：在二次函数f（x）=ax²+bx+c中，若x₁≠x₂，则使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要条件是“a＞0”

Answer 1

分析 利用作差法，结合充分条件和必要条件的定义进行证明即可．

解答 证明：$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c）-a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²-b•（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-c
=$\frac{1}{2}$（ax₁²+bx₁+ax₂²+bx₂）-a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²-b•（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（ax₁²+ax₂²）-a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²
=$\frac{1}{4}$（2ax₁²+2ax₂²-ax₁²-ax₂²-2ax₁x₂）
=$\frac{1}{4}$（ax₁²+ax₂²-2ax₁x₂）
=$\frac{1}{4}$a（x₁-x₂）²，
∵x₁≠x₂，∴（x₁-x₂）²＞0，
若f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞0，此时a＞0，
反之，若a＞0，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞0，即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立，
故使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要条件是“a＞0”．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的证明，利用作差法，结合函数的性质是解决本题的关键．