Question

20．（1）角α的终边上一点P的坐标为（4t，-3t）（t不为0）求2sinα+cosα．
（2）设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量，若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若三点A，B，C共线，求k的值．

Answer 1

分析 （1）可先求OP，分①t＞0时，r=5t，由三角函数的定义可得，sinα，cosα；②t＜0，r=-5α，由三角函数的定义可得，sinα，cosα可分别求解；
（2）利用向量的运算法则求出$\overrightarrow{BD}$；将三点共线转化为两个向量共线；利用向量共线的充要条件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值．

解答 解：（1）由题意可得点P到原点的距离r=5|t|，
当t＞0时，r=5t，由三角函数的定义可得，sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{4}{5}$，
此时，2sinα+cosα=1；
当t＜0，r=-5t，由三角函数的定义可得，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$，
此时2sinα+cosα=-1．
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）-（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若A，B，D三点共线，则$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$共线，设$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$，
则2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
由于$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2=λ}\\{k=-4λ}\end{array}\right.$．
故λ=2，k=-8．

点评 本题主要考查三角函数的定义，考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理，解答（1）时要注意r=5|t|，而不能直接写为r=5t．