题目内容

20.(1)角α的终边上一点P的坐标为(4t,-3t)(t不为0)求2sinα+cosα.
(2)设$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量,若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$,若三点A,B,C共线,求k的值.

分析 (1)可先求OP,分①t>0时,r=5t,由三角函数的定义可得,sinα,cosα;②t<0,r=-5α,由三角函数的定义可得,sinα,cosα可分别求解;
(2)利用向量的运算法则求出$\overrightarrow{BD}$;将三点共线转化为两个向量共线;利用向量共线的充要条件列出方程;利用平面向量的基本定理列出方程,求出k的值.

解答 解:(1)由题意可得点P到原点的距离r=5|t|,
当t>0时,r=5t,由三角函数的定义可得,sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{3}{5}$,cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{4}{5}$,
此时,2sinα+cosα=1;
当t<0,r=-5t,由三角函数的定义可得,sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$,cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$,
此时2sinα+cosα=-1.
(2)∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=(2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$)-($\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$)=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$,
若A,B,D三点共线,则$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BD}$共线,设$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$,
则2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$,
由于$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量,可得:$\left\{\begin{array}{l}{2=λ}\\{k=-4λ}\end{array}\right.$.
故λ=2,k=-8.

点评 本题主要考查三角函数的定义,考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理,解答(1)时要注意r=5|t|,而不能直接写为r=5t.

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