题目内容
【题目】在直角坐标系中, 椭圆
的中心在坐标原点
,其右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为,
是椭圆上异于
的任意一点,直线
交椭圆
于另一点
,直线
交直线
于
点, 求证:
三点在同一条直线上
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)(法一)由题意,求得椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,求得,进而求得
的值,即可得到椭圆的标准方程;
(法二)设椭圆的方程为
(
),列出方程组,求得
的值,得到椭圆的标准方程。
(2)设,
,直线
的方程为
,联立方程组,利用根与系数的关系和向量的运算,即可证得三点共线。
(1)(法一)设椭圆的方程为
,
∵一个焦点坐标为,∴另一个焦点坐标为
,
∴由椭圆定义可知,
∴,∴
,∴椭圆
的方程为
.
(法二)不妨设椭圆的方程为
(
),
∵一个焦点坐标为,∴
,①
又∵点在椭圆
上,∴
,②
联立方程①,②,解得,
,
∴椭圆的方程为
.
(2)设,
,直线
的方程为
,
由方程组消去
,并整理得:
,
∵,∴
,
,
∵直线的方程可表示为
,
将此方程与直线联立,可求得点
的坐标为
,
∴,
∵
,所以
,
又向量和
有公共点
,故
,
,
三点在同一条直线上.
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