Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90??，AB//CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点。

（1）证明：CD⊥平面BEF；

（2）设PA=k·AB且二面角E-BD-C的平面角大于30??，求k的取值范围。

Answer 1

（1）证明见解析。

（2）

解析:

（1）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系。

设AB=a，则易知点A、B、C、D、F的坐标分别为A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），D(0，2a，0),F(a，2a，0)，从而

。

设PA=b，则P（0，0，b），而E为PC的中点，故E（a，a，），

从而，。

由此得CD⊥面BEF。

（2）设E在xOy平面上的投影为G，作G作DH⊥BD，垂足为H。

由三垂线定理知EH⊥BD，从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角。

由PA=k·AB得P（0，0，ka），E，G。

设H（x，y，0），则，

由得-a(x-a)+2a(y-a)=0，即x-2y=-a  ①，

又因为且的方向相同，

故，即2x+y=2a。

由①②解得

由k>0知∠EHG是锐角，由∠EHG>30??，得tanEHG>tan30??，即。