Question

20．已知函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，判断（x₁）-f（x₂）的符号，进而得到（x₁），f（x₂）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．
（2）根据函数的单调性即可求出最值．

解答 解：（1）证明：设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
则：f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，
（2）由（1）可知f（x）在[2，7]上单调递增，
∴f（x）_max=f（7）=7+$\frac{1}{7}$=$\frac{50}{7}$．
f（x）_min=f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明和函数最值的求法，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．