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【题目】设正数x,y满足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,则实数a的取值范围是(
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)

【答案】C
【解析】解:∵log x+log3y=m,即log3 +log3y=log3 =m, ∴ =3m , ∵m∈[﹣1,1],∴ ∈[ ,3].
∵3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2
∴3a﹣18 +(2a+3) ≥1﹣2 +
=t,则2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,
设f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,
∵不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,
∴f(t)在[ ,3]上的最大值fmax(x)≥0,
(i)当a=﹣1时,f(t)=﹣16t﹣4,
∴fmax(t)=f( )=﹣ ﹣4<0,不符合题意;
(ii)若a<﹣1,则f(t)开口向下,对称轴为t= <0,
∴f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6<0,不符合题意;
(iii)若a>﹣1,则f(t)开口向上,对称轴为t= >0,
①若0< ,即a≥11时,f(t)在[ ,3]上单调递增,
∴fmax(t)=f(3)=21a﹣31>0,符合题意;
②若 ,即﹣1<a 时,f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6≤ ﹣6<0,不符合题意;
③若 <3,即 <a<11时,f(t)在[ ,3]上先减后增,
∴fmax(t)=f( )或fmax(t)=f(3),
∴f( )= ﹣6≥0或f(3)=21a﹣31>0,
解得a≥ 或a≥ ,又 <a<11,
≤a<11,
综上,a的取值范围是[ ,+∞).
故选C.
根据对数运算性质可得 =3m , 令 =t,则不等式可化简为2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,令f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,则问题转化为fmax(t)≥0,讨论对称轴与开口方向,根据二次函数的性质求出fmax(t)即可得出a的范围.

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