Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=npa_n（n∈N^*）且a₁≠a₂，
（1）求常数p的值；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知若p=1时，a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1．则a₁=0．n=2时，（2p-1）a₂=0．所以p=

1

2

．
（2）由题设条件知

an

an-1

=

n-1

n-2

．则

an-1

an-2

=

n-2

n-3

，

a3

a2

=

2

1

．由此可知{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=pa₁，若p=1时，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，
∴a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1．则a₁=0．
当n=2时，a₁+a₂=2pa₂，∴（2p-1）a₂=0．
∵a₁≠a₂，故p=

1

2

．
（2）由已知S_n=

1

2

na_n，a₁=0．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

na_n-

1

2

（n-1）a_n-1．
∴

an

an-1

=

n-1

n-2

．则

an-1

an-2

=

n-2

n-3

，

a3

a2

=

2

1

．
∴

an

a2

=n-1．∴a_n=（n-1）a₂，a_n-a_n-1=a₂．
故{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．

点评：本题为“S_n?a_n”的问题，体现了运动变化的思想．