Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），抛物线x²=2py上的点（$\sqrt{2}$，1）处的切线经过椭圆C的下顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F₁的动直线l交椭圆C于A、B两点（异于长轴端点）．请问是否存在实常数λ，使得|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=λ$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求△ABF₂（F₂为椭圆C的右焦点）内切圆面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）点（$\sqrt{2}$，1）代入x²=2py，可得p=1，求导数，利用导数的几何意义，可得切线方程，进而可得b，a，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）设l的方程为x=my-1，代入椭圆方程，整理可得（m²+2）y²-2my-1=0，利用韦达定理、向量的运算，结合|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=λ$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得λ的值；
（3）利用${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•4ar=2$\sqrt{2}$r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=|y₁-y₂|，求出r=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$|y₁-y₂|，可得面积，利用基本不等式，即可求△ABF₂（F₂为椭圆C的右焦点）内切圆面积的取值范围．

解答 解：（1）点（$\sqrt{2}$，1）代入x²=2py，可得p=1，∴x²=2y，即y=$\frac{1}{2}$x²，
∴y′=x，
∴抛物线x²=2py上的点（$\sqrt{2}$，1）处的切线斜率为$\sqrt{2}$，
∴抛物线x²=2py上的点（$\sqrt{2}$，1）处的切线方程为y-1=$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$），即y=$\sqrt{2}$x-1，
令x=0得y=-1，
∴b=1，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），设l的方程为x=my-1，
代入椭圆方程，整理可得（m²+2）y²-2my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
∴|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=|$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{（{m}^{2}+1）（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+1，y₁）=（my₁，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂+1，y₂）=（my₂，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（m²+1）y₁y₂=-$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$，
∴存在实常数λ=-2$\sqrt{2}$，使得|$\overrightarrow{{F}_{1}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=λ$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$恒成立；
（3）设△ABF₂（F₂为椭圆C的右焦点）内切圆的半径为r，则
${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•4ar=2$\sqrt{2}$r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=|y₁-y₂|
∴r=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$|y₁-y₂|
∴S_圆=$\frac{π}{8}$（y₁-y₂）²=$\frac{π（{m}^{2}+1）}{（{m}^{2}+2）^{2}}$
设m²+1=t（t≥1），∴S_圆=$\frac{π}{t+\frac{1}{t}+2}$
∵t≥1，∴t+$\frac{1}{t}$+2≥4（t=1，即m=0时取等号），
∴0＜S_圆=$\frac{π}{t+\frac{1}{t}+2}$≤$\frac{π}{4}$，
∴△ABF₂内切圆面积的取值范围是（0，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的计算域基本不等式的运用，有难度．