Question

设函数f(x)=

2x，-2≤x＜0 g(x)-log5(x+ 5+x2 )，0＜x≤2

，若f（x）是奇函数，则当x∈（0，2]时，g（x）的最大值是（　　）

• A、

  1

  4

• B、-

  3

  4

• C、

  3

  4

• D、-

  1

  4

Answer 1

分析：因为函数f(x)=

2x，-2≤x＜0 g(x)-log5(x+ 5+x2 )，0＜x≤2

且f（x）是奇函数，由于函数定义在-2≤x＜0这一段的函数解析式具体并且为2^x，利用函数为奇函数可以求出定义在0＜x≤2在这一段上函数的解析式，由此求出g（x）的解析式并在定义域x∈（0，2]求出g（x）这一函数的值域，即可得答案．

解答：解：因为函数f(x)=

2x，-2≤x＜0 g(x)-log5(x+ 5+x2 )，0＜x≤2

且f（x）是奇函数，x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），
所以-f（x）=f（-x）=2^-x?f（x）=-2^-x（x∈（0，2]）  所以g（x）=-2-x+log5(x+

5+x2

) （x∈（0，2]），利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数，所以函数g(x)min=g(2)=

3

4

．故答案选C．

点评：此题考查了利用函数的奇偶性补全解析式，还考查了利用单调性求函数在定义域下的最值．