Question

【题目】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P． （Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：连接AB， ∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（Ⅱ）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PBPD，
∴62=PB（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PAPC=BPPE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DBDE=9×16，
∴AD=12
【解析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PBPD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PAPC=BPPE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DBDE=DB（PB+PE），代入求出即可．