题目内容
【题目】近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在
内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 | 幼年期 | 成长期 | 成年期 |
重量（Kg） |
|
|
|
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布
.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
，
.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若
，
，
，
）
【答案】（1）甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）
（元）
【解析】
（1）由于猪的体重X近似服从正态分布X～N（70，232），根据参考数据求出对应的概率，再求出结果；
（2）根据题意，写出Y的分别列，求出数学期望，再求出总利润．
解：（1）由于猪的体重X近似服从正态分布
，
设各阶段猪的数量分别为
（头）；
同理，
（头）
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量Y可能取值为
.
，
，
所以Y的分布列为：
| 1100 | 400 |
|
P |
|
|
|
所以
（元）
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为
（元）.
阶梯计算系列答案
【题目】某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为
，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：
），得到下面的频数表：
亮灯时长/ |
|
|
|
|
|
频数 | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.
（1）试估计
的值；
（2）设
表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.
①求的数学期望
和方差
；
②若随机变量
满足
，则认为
.假设当
时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.
附：
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；
②若，则
，
，
.
